As of August 2024, International Journal "Notes on Intuitionistic Fuzzy Sets" is being indexed in Scopus.
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Open Call for Papers: International Workshop on Intuitionistic Fuzzy Sets • 13 December 2024 • Banska Bystrica, Slovakia/ online (hybrid mode).
Deadline for submissions: 16 November 2024.

Implications over intuitionistic fuzzy sets: Difference between revisions

From Ifigenia, the wiki for intuitionistic fuzzy sets and generalized nets
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| &#123;&#60;x, <font color=green>1-min(μ<sub>A</sub>(x),ν<sub>B</sub>(x))</font>, <font color=red>min(μ<sub>A</sub>(x)(1-μ<sub>A</sub>(x))+{{overline|sg}}(1-μ<sub>A</sub>(x)),ν<sub>B</sub>(x))</font>&#62;&#124;x &#8712; E&#125;
| &#123;&#60;x, <font color=green>1-min(μ<sub>A</sub>(x),ν<sub>B</sub>(x))</font>, <font color=red>min(μ<sub>A</sub>(x)(1-μ<sub>A</sub>(x))+{{overline|sg}}(1-μ<sub>A</sub>(x)),ν<sub>B</sub>(x))</font>&#62;&#124;x &#8712; E&#125;
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| &#123;&#60;x, <font color=green>max(1-μ<sub>A</sub>(x),(1-ν<sub>B</sub>(x)).ν<sub>B</sub>(x)+{{overline|sg}}(ν<sub>B</sub>(x)))</font>, <font color=red>min(μ<sub>A</sub>(x).(1-μ<sub>A</sub>(x))+{{overline|sg}}(1-μ<sub>A</sub>(x)),ν<sub>B</sub>(x).((1-ν<sub>B</sub>(x)).ν<sub>B</sub>(x)+{{overline|sg}}(1-ν<sub>B</sub>(x)))</font>&#62;&#124;x &#8712; E&#125;
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Revision as of 11:10, 14 November 2013

For the various definitions of implication of over intuitionistic fuzzy sets, the functions sg(x) and sg(x) have been used:

[math]\displaystyle{ \text{sg}(x) = \left \{ \begin{array}{c c} 1 & \text{if } x \gt 0 \\ 0 & \text{if } x \leq 0 \end{array}, }[/math]   [math]\displaystyle{ \overline{\text{sg}}(x) = \left \{ \begin{array}{c c} 1 & \text{if } x \lt 0 \\ 0 & \text{if } x \geq 0 \end{array}. }[/math]

ρ== List of intuitionistic fuzzy implications ==

No. Ref. Year Implication
1 {<x, max(νA(x),min(μA(x),μB(x))), min(μA(x),νB(x))>|x ∈ E}
2 {<x, sgA(x)-μB(x)), νB(x).sg(μA(x)-μB(x))>|x ∈ E}
3 {<x, 1-(1-μ(x)).sg(μA(x)-μB(x)), νB.sg(μA(x)-μB(x)) >|x ∈ E}
4 {<x, max(νA(x),μB(x)), min(μA(x),νB(x))>|x ∈ E}
5 {<x, min(1,νA(x)+μB(x)), max(0,μA(x)+νB(x)-1)>|x ∈ E}
6 {<x, νA(x)+μA(x)μB(x), μA(x)νB(x)>|x ∈ E}
7 {<x, min(max(νA(x),μB(x)),max(μA(x),νA(x)), max(μB(x),νB(x))), max(min(μA(x),νB(x)), min(μA(x),νA(x)),min(μB(x),νB(x)))>|x ∈ E}
8 {<x, 1-(1-min(νA(x),μB(x))).sg(μA(x)-μB(x)), max(μA(x),νB(x)).sg(μA(x)-μB(x)),sg(νB(x)-νA(x))>|x ∈ E}
9 {<x, νA(x)+μA(x)2μB(x), μA(x)νA(x)+μA(x)2νB(x)>|x ∈ E}
10 {<x, μA(x).sg(1-μA(x))+sg(1-μA(x)).(sg(1-μB(x))+νA(x).sg(1-μB(x))), νB.sg(1-μA(x))+μA(x).sg(1-μA(x)).sg(1-μB(x))>|x ∈ E}
11 {<x, 1-(1-μB(x)).sg(μA(x)-μB(x)), νB(x).sg(μA(x)-μB(x)).sg(νB(x)-νA(x))>|x ∈ E}
12 {<x, max(νA(x),μB(x)), 1-max(νA(x),μB(x))>|x ∈ E}
13 {<x, νA(x)+μB(x)-νA(x).μB(x), μA(x).νB(x)>|x ∈ E}
14 {<x, 1-(1-μB(x)).sg(μA(x)-μB(x))-νB(x).sgA(x)-μB(x)).sg(νB(x)-νA(x)), νB(x).sg(νB(x)-νA(x))>|x ∈ E}
15 {<x, 1-sg(μA(x)-μB(x)).sg(νB(x)-νA(x)), sg(sgA(x)-μB(x))+sgB(x)-νA(x)))>|x ∈ E}
16 {<x, max(sgA(x)),μB(x)), min(sg(μA(x)),νB(x))>|x ∈ E}
17 {<x, max(νA(x),μB(x)), min(μA(x).νA(x)+μA(x)2B(x))>|x ∈ E}
18 {<x, max(νA(x),μB(x)), min(1-νA(x),νB(x))>|x ∈ E}
19 {<x, max(1-sg(sg(μA(x))+sg(1-νA(x))),μB(x)), min(sg(1-νA(x)),νB(x))>|x ∈ E}
20 {<x, max(sgA(x)),sg(μA(x)))), min(sg(μA(x)),sgB(x)))>|x ∈ E}
21 {<x, max(νA(x),μB(x).(μB(x)+νB(x))), min(μA(x).(μA(x)+νA(x)),νB(x).(μB(x)2B(x)+μB(x).νB(x)))>|x ∈ E}
22 {<x, max(νA(x),1-νB(x)), min(1-νA(x),νB(x))>|x ∈ E}
23 {<x, 1-min(sg(1-νA(x)),sg(1-νB(x))), min(sg(1-νA(x)),sg(1-νB(x)))>|x ∈ E}
24 {<x, sgA(x)-μB(x)).sgB(x)-νA(x)), sg(μA(x)-μB(x)).sg(νB(x)-νA(x))>|x ∈ E}
25 {<x, max(νA(x),sgA(x)).sg(1-νA(x)),μB(x).sgB(x)).sg(1-μB(x))), min(μA(x),νB(x))>|x ∈ E}
26 {<x, max(sg(1-νA(x)),μB(x)), min(sg(μA(x)),νB(x))>|x ∈ E}
27 {<x, max(sg(1-νA(x)),sg(μB(x))), min(sg(μA(x)),sg(1-νB(x)))>|x ∈ E}
28 {<x, max(sg(1-νA(x)),μB(x)), min(μA(x),νB(x))>|x ∈ E}
29 {<x, max(sg(1-νA(x)),sg(1-μB(x))), min(μA(x),sg(1-νB(x)))>|x ∈ E}
30 {<x, max(1-μA(x),min(μA(x),1-νB(x))), min(μA(x),νB(x))>|x ∈ E}
31 {<x, sgA(x)+νB(x)-1), νB(x).sg(μA(x)+νB(x)-1)>|x ∈ E}
32 {<x, 1-νB(x).sg(μA(x)+νB(x)-1), νB(x).sg(μA(x)+νB(x)-1)>|x ∈ E}
33 {<x, 1-min(μA(x),νB(x)), min(μA(x),νB(x))>|x ∈ E}
34 {<x, min(1,2-μA(x)-μB(x)), max(0,μA(x)+νB(x)-1)>|x ∈ E}
35 {<x, 1-μA(x).νB(x), μA(x).νB(x)>|x ∈ E}
36 {<x, min(1-min(μA(x),νB(x)),max(μA(x),1-μA(x)),max(1-νB(x),νB(x))), max(min(μA(x),νB(x)),min(μA(x),1-μA(x)),min(1-νB(x),νB(x)))>|x ∈ E}
37 {<x, 1-max(μA(x),νB(x)).sg(μA(x)+νB(x)-1), max(μA(x),νB(x)).sg(μA(x)+νB(x)-1)>|x ∈ E}
38 {<x, 1-μA(x)+(μA(x)2.(1-νB(x))), μA(x)(1-μA(x))+μA(x)2B(x)>|x ∈ E}
39 {<x, (1-νB(x)).sg(1-μA(x))+sg(1-μA(x)).(sgB(x))+(1-μA(x)).sg(νB(x))), νB(x).sg(1-μA(x))+μA(x).sg(1-μA(x)).sg(νB(x))>|x ∈ E}
40 {<x, 1-sg(μA(x)+νB(x)-1), 1-sgA(x)+νB(x)-1)>|x ∈ E}
41 {<x, max(sgA(x)),1-νB(x)), min(sg(μA(x)),νB(x))>|x ∈ E}
42 {<x, max(sgA(x)),sg(1-νB(x))), min(sg(μA(x)),sg(1-νB(x)))>|x ∈ E}
43 {<x, max(sgA(x)),1-νB(x)), min(sg(μA(x)),νB(x))>|x ∈ E}
44 {<x, max(sgA(x)),1-νB(x)), min(μA(x),νB(x))>|x ∈ E}
45 {<x, max(sgA(x)),sgB(x))), min(μA(x),sg(1-νB(x)))>|x ∈ E}
46 {<x, max(νA(x),min(1-νA(x),μB(x))), 1-max(νA(x),μB(x))>|x ∈ E}
47 {<x, sg(1-νA(x)-μB(x)), (1-μB(x)).sg(1-νA(x)-μB(x))>|x ∈ E}
48 {<x, 1-(1-μB(x)).sg(1-νA(x)-μB(x)), (1-μB(x)).sg(1-νA(x)-μB(x))>|x ∈ E}
49 {<x, min(1,νA(x)+μB(x)), max(0,1-νA(x)-μB(x))>|x ∈ E}
50 {<x, νA(x)+μB(x)-νA(x).μB(x), 1-νA(x)-μB(x)+νA(x).μB(x)>|x ∈ E}
51 {<x, min(max(νA(x),μB(x)),max(1-νA(x),νA(x)),max(μB(x),1-μB(x))), max(1-max(νA(x),μB(x)),min(1-νA(x),νA(x)),min(μB(x),1-μB(x)))>|x ∈ E}
52 {<x, 1-(1-min(νA(x),μB(x))).sg(1-νA(x)-μB(x)), 1-min(νA(x),μB(x)).sg(1-νA(x)-μB(x))>|x ∈ E}
53 {<x, νA(x)+(1-νA(x))2B(x), (1-νA(x)).νA(x)+(1-νA(x))2.(1-μB(x))>|x ∈ E}
54 {<x, μB(x)sgA(x))+sg(νA(x)).(sg(1-μB(x))+νA(x).sg(1-μB(x))), (1-μB(x)).sgA(x))+(1-νA(x)).sg(νA(x)).sg(1-μB(x))>|x ∈ E}
55 {<x, 1-sg(1-νA(x)-μB(x)), 1-sg(1-νA(x)-μB(x))>|x ∈ E}
56 {<x, max(sg(1-νA(x)),μB(x)), min(sg(1-νA(x)),1-μB(x))>|x ∈ E}
57 {<x, max(sg(1-νA(x)),sg(μB(x))), min(sg(1-νA(x)),sgB(x)))>|x ∈ E}
58 {<x, max(sg(1-νA(x)),sg(1-μB(x))), 1-max(νA(x),μB(x))>|x ∈ E}
59 {<x, max(sg(1-νA(x)),μB(x)), 1-max(νA(x),μB(x))>|x ∈ E}
60 {<x, max(sg(1-νA(x)),sg(1-μB(x))), min(1-νA(x),sgB(x)))>|x ∈ E}
61 {<x, max(μB(x),min(νB(x),νA(x))), min(νB(x),μA(x))>|x ∈ E}
62 {<x, sgB(x)-νA(x)), μA(x).sg(νB(x)-νA(x))>|x ∈ E}
63 {<x, 1-(1-νA(x)).sg(νB(x)-νA(x)), μA(x).sg(νB(x)-νA(x))>|x ∈ E}
64 {<x, μB(x)+νB(x).νA(x), νB(x).μA(x)>|x ∈ E}
65 {<x, 1-(1-min(μB(x),νA(x))).sg(νB(x)-νA(x)), max(νB(x),μA(x)).sg(νB(x)-νA(x)).sg(μA(x)-μB(x))>|x ∈ E}
66 {<x, μB(x)+νB(x)2νA(x), νB(x).μB(x)+νB(x)2μA(x)>|x ∈ E}
67 {<x, νA(x).sg(1-νB(x))+sg(1-νB(x)).(sg(1-νA(x))+μB(x).sg(1-νA(x))), μA(x).sg(1-νB(x))+νB(x).sg(1-νB(x)).sg(1-νA(x))>|x ∈ E}
68 {<x, 1-(1-νA(x)).sg(νB(x)-νA(x)), μA(x).sg(νB(x)-νA(x)).sg(μA(x)-μB(x))>|x ∈ E}
69 {<x, 1-(1-νA(x)).sg(νB(x)-νA(x))-μA(x).sgB(x)-νA(x)).sg(μA(x)-μB(x)), μA(x).sg(μA(x)-μB(x))>|x ∈ E}
70 {<x, max(sg((νB(x)),νA(x)), min(sg(νB(x)),μA(x))>|x ∈ E}
71 {<x, max(μB(x),νA(x)), min(νB(x).μB(x)+νB(x)2A(x))>|x ∈ E}
72 {<x, max(μB(x),νA(x)), min(1-μB(x),μA(x))>|x ∈ E}
73 {<x, max(1-max(sg(νB(x)),sg(1-μB(x))),νA(x)), min(sg(1-μB(x)),μA(x))>|x ∈ E}
74 {<x, max(sgB(x)),sg(νA(x))), min(sg(νB(x)),sgA(x)))>|x ∈ E}
75 {<x, max(μB(x),νA(x).(νA(x)+μA(x))), min(νB(x).(νB(x)+μB(x)),μA(x).(νA(x)2A(x))+νA(x).μA(x))>|x ∈ E}
76 {<x, max(μB(x),1-μA(x)), min(1-μB(x),μA(x))>|x ∈ E}
77 {<x, 1-min(sg(1-μB(x)),sg(1-μA(x))), min(sg(1-μB(x)),sg(1-μA(x)))>|x ∈ E}
78 {<x, max(sg(1-μB(x)),νA(x)), min(sg(νB(x)),μA(x))>|x ∈ E}
80 {<x, max(sg(1-μB(x)),νA(x)), min(νB(x),μA(x))>|x ∈ E}
81 {<x, max(sg(1-μB(x)),sg(1-νA(x))), min(νB(x),sg(1-μA(x)))>|x ∈ E}
82 {<x, max(1-νB(x),min(νB(x),1-μA(x))), min(νB(x),μA(x))>|x ∈ E}
83 {<x, sgB(x)+μA(x)-1), μA(x).sg(νB(x)+μA(x)-1)>|x ∈ E}
84 {<x, 1-μA(x).sg(νB(x)+μA(x)+1), μA(x).sg(νB(x)+μA(x)+1)>|x ∈ E}
85 {<x, 1-νB(x)+νB(x)2.(1-μA(x)), νB(x).(1-νB(x))+νB(x)2>|x ∈ E}
86 {<x, (1-μA(x)).sg(1-νB(x))+sg(1-νB(x))sgA(x)+min(1-νB(x),sg(μA(x)))), μA(x).sg(1-νB(x))+νB(x).sg(1-νB(x)).sg(μA(x))>|x ∈ E}
87 {<x, max(sgB(x)),1-μA(x)), min(sg(νB(x)),μA(x))>|x ∈ E}
88 {<x, max(sgB(x)),sg(1-μA(x))), min(sg(νB(x)),sg(1-μA(x)))>|x ∈ E}
89 {<x, max(sgB(x)),1-μA(x)), min(νB(x),μA(x))>|x ∈ E}
90 {<x, max(sgB(x)),sgA(x))), min(νB(x),sg(1-μA(x)))>|x ∈ E}
91 {<x, max(μB(x),min(1-μB(x),νA(x))), 1-max(μB(x),νA(x))>|x ∈ E}
92 {<x, sg(1-μB(x)-νA(x)), min(1-νA(x),sg(1-μB(x)-νA(x)))>|x ∈ E}
93 {<x, 1-min(1-νA(x),sg(1-μB(x)-νA(x))), min(1-νA(x),sg(1-μB(x)-νA(x)))>|x ∈ E}
94 {<x, μB(x)+(1-μB(x))2A(x)), (1-μB(x)).μB(x)+(1-μB(x))2.(1-νA(x))>|x ∈ E}
95 {<x, min(νA(x),sgB(x)))+sg(μB(x)).(sg(1-νA(x))+min(μB(x),sg(1-νA(x)))), min(1-νA(x),sgB(x)))+min(min(1-μB(x),sg(μB(x))),sg(1-νA(x)))>|x ∈ E}
96 {<x, max(sg(1-μB(x)),νA(x)), min(sg(1-μB(x)),1-νA(x)>|x ∈ E}
97 {<x, max(sg(1-μB(x)),sg(νA(x))), min(sg(1-μB(x)),sgA(x)))>|x ∈ E}
98 {<x, max(sg(1-μB(x)),νA(x)), 1-max(μB(x),νA(x))>|x ∈ E}
99 {<x, max(sg(1-μB(x)),sg(1-νA(x))), min(1-μB(x),sgA(x)))>|x ∈ E}
100 {<x, max(min(νA(x),sg(μA(x))),μB(x)), min(min(μA(x),sg(νA(x))),νB(x))>|x ∈ E}
101 {<x, max(min(νA(x),sg(μA(x))),min(μB(x),sg(νB(x)))), min(min(μA(x),sg(νA(x))),min(νB(x),sg(μB(x))))>|x ∈ E}
102 {<x, max(νA(x),min(μB(x),sg(νB(x)))), min(μA(x),min(νB(x),sg(μB(x))))>|x ∈ E}
103 {<x, max(min(1-μA(x),sg(μA(x))),1-νB(x)), min(μA(x),sg(1-μA(x)),νB(x))>|x ∈ E}
104 {<x, max(min(1-μA(x),sg(μA(x))),min(1-νB(x),sg(νB(x)))), min(min(μA(x),sg(1-μA(x))),min(νB(x),sg(1-νB(x))))>|x ∈ E}
105 {<x, max(1-μA(x),min(1-νB(x),sg(νB(x)))), min(μA(x),min(νB(x),sg(1-νB(x))))>|x ∈ E}
106 {<x, max(min(νA(x),sg(1-νA(x))),μB(x)), min(min(1-νA(x),sg(νA(x))),1-μB(x))>|x ∈ E}
107 {<x, max(min(νA(x),sg(1-νA(x))),min(μB(x),sg(1-μB(x)))), min(min(1-νA(x),sg(νA(x))),min(1-μB(x),sg(μB(x))))>|x ∈ E}
108 {<x, max(νA(x),min(μB(x),sg(1-μB(x)))), min(1-νA(x),min(1-μB(x),sg(μB(x))))>|x ∈ E}
109 {<x, νA(x)+min(sg(1-μA(x)),μB(x)), μA(x).νA(x)+min(sg(1-μA(x)),νB(x))>|x ∈ E}
110 {<x, max(νA(x),μB(x)), min(μA(x).νA(x)+sg(1-μA(x)),νB(x))>|x ∈ E}
111 {<x, max(νA(x),μB(x).νB(x)+sg(1-μB(x))), min(μA(x).νA(x)+sg(1-μA(x)),νB(x).(μB(x).νB(x)+sg(1-μB(x)))+sg(1-νB(x)))>|x ∈ E}
112 {<x, νA(x)+μB(x)-νA(x).μB(x), μA(x).νA(x)+sg(1-μA(x)).νB(x)>|x ∈ E}
113 {<x, νA(x)+(μB(x).νB(x)-νA(x).(μB(x).νB(x)+sg(1-μB(x))), A(x).νA(x)+sg(1-μA(x))).(νB(x).(μB(x).νB(x)+sg(1-μB(x)))+sg(1-νB(x)))>|x ∈ E}
114 {<x, 1-μA(x)+min(sg(1-μA(x)),1-νB(x)), μA(x).(1-μA(x))+min(sg(1-μA(x)),νB(x))>|x ∈ E}
115 {<x, 1-min(μA(x),νB(x)), min(μA(x)(1-μA(x))+sg(1-μA(x)),νB(x))>|x ∈ E}
116 {<x, max(1-μA(x),(1-νB(x)).νB(x)+sgB(x))), min(μA(x).(1-μA(x))+sg(1-μA(x)),νB(x).((1-νB(x)).νB(x)+sg(1-νB(x)))>|x ∈ E}


Alternative separated view

References

See also

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