{{Ifigenia:DMEU/menu}}
'''Обобщените мрежи, ОМ (Generalized nets, GNs''') са средство за конструиране на адаптивни, гъвкави и структурирани модели на комплексни системи, в които протичат паралелни във времето процеси и са изградени от множество взаимодействащи си компоненти. Обобщените мрежи представляват значително разширение и обобщение на понятието [[мрежи на Петри]], както и на други [[разширения и модификации на мрежи на Петри]].

[[Image:GN-transition-mxn.png|right|thumb|25oxp|Преход от ОМ с ''m'' входни позиции и ''n'' изходни позиции]]

Обобщената мрежа е изградена от '''преходи (transitions)'''. Преходът в контекста на обобщените мрежи е обект от статичната структура на мрежата, който съдържа условията за преминаването на '''ядра (token)''' от входните в изходните му '''позиции (places)''', след като преходът се е активирал.

От позиция или в позиция на прехода може да излиза или съответно да влиза не повече от една дъга. Позиция, от която излиза дъга се нарича входна за прехода, а позиция, в която влиза дъга се нарича изходна за прехода. Всеки преход в ОМ има поне една входна и поне една изходна позиция.
Входна позиция, в която не влиза дъга се нарича вход на мрежата, а изходна позиция, от която не излиза дъга – изход на мрежата. В позициите може да има ядра. Те се преместват от входните към съответните изходни позиции на преходите. Когато настъпи определения за прехода момент от време, и във входните позиции има достатъчен брой ядра, то ядрата от входните позиции придобиват възможност да се придвижат до изходните позиции. Този процес се нарича активиране на прехода. В началото ядрата, които постъпват в мрежата през входните й позиции имат т.нар. начални характеристики. При всяко преминаване през преход в мрежата те получават нови характеристики и така всяко ядро в мрежата е уникално и има своя история. Всяка позиция има свой капацитет.

== Формално описание на преход ==

Преходът Z в ОМ се представя като наредена последователност от седем компоненти:

<div align="center"><math>Z = \langle L', L'', t_1, t_2, r, M, \Box \rangle</math></div>

където:
* <math>L'</math> са крайно непразно множество от входните позиции на прехода.
* <math>L''</math> са крайно непразно множество от изходните позиции на прехода.
* <math>t_1</math> е момент време на активиране на прехода.
* <math>t_2</math> задава продължителността на активното състояние на прехода.
* <math>r</math> е условие на прехода. Представлява индексирана матрица от вида:
*: <math> r =
\begin{array}{c|c c c c c} & l''_1 & ... & l''_j & ... & l''_n \\
\hline
l'_1 & & & & & \\
... & & & & & \\
l'_i & & & r_{i,j} & & \\
... & & & & & \\
l'_m & & & & & \\
\end{array}
</math>
*: където <math>r_{i,j}</math> са предикати, <math>1 \le i \le m, 1 \le j \le n</math>
* <math>M</math> задава капацитетите на дъгите. Представлява индексирана матрица от вида:
*: <math> M =
\begin{array}{c|c c c c c} & l''_1 & ... & l''_j & ... & l''_n \\
\hline
l'_1 & & & & & \\
... & & & & & \\
l'_i & & & M_{i,j} & & \\
... & & & & & \\
l'_m & & & & & \\
\end{array}
</math>
*: където <math>M_{i,j} \ge 0</math> са естествени числа и <math>\infty</math>, <math>1 \le i \le m, 1 \le j \le n</math>
* <math>\Box</math> се нарича тип на прехода и представлява булев израз. Ако стойността му е “true” съответният преход може да се активира, а ако е “false” - не. В него участват идентификаторите на всички входни позиции на прехода, свързани с логическите операции "и" <math>\land</math> и "или" <math>\lor</math>:
*: <math>\land(l_{i_1}, l_{i_2},...,l_{i_u})</math> - във всяка входна позиция <math>l_{i_1}, l_{i_2},...,l_{i_u}</math> трябва да има най-малко по едно ядро,
*: <math>\lor(l_{i_1}, l_{i_2},...,l_{i_u})</math> - най-малко в една от входните позиции <math>l_{i_1}, l_{i_2},...,l_{i_u}</math> трябва да има най-малко едно ядро.

== Формално описание на Обобщена мрежа ==

Обобщена мрежа е наредената четворка:
<center><math>
< \underbrace{ <A, \pi_{A}, \pi_{L}, c, f, \theta_{1}, \theta_{2} >}_{1.\ Static \ structure},
\underbrace{ <K, \pi_{K}, \theta_{K} >}_{2. \ Dynamic \ structure},
\underbrace{ <T, t^{0}, t^{*} >}_{3. \ Time},
\underbrace{ <X, \Phi, b >}_{4. \ Memory} >
</math></center>
където:

; ''1. Статична структура (Static structure)''
* <math>A</math> е множеството от всички преходи в мрежата''.
* <math>\pi_{A}</math> е функция, задаваща ''приоритетите на преходите'', т.е. <math>\pi_{A} : A \rightarrow N</math> където N = {0, 1, 2, ...} ∪ {∞}.
* <math>\pi_{L}</math> е функция, задаваща ''приоритетите на позициите'', т.е. <math>\pi_{L} : L \rightarrow N</math>.
* <math>c</math> е функция, задаваща ''капацитетите на позициите'', т.е. <math>c : L \rightarrow N</math>.
* <math>f</math> е функция, определяща ''вярностната стойност на предикатите''.
* <math>\theta_{1}</math> задава ''следващия момент'', в който може да се активира прехода. Стойността на тази функция се преизчислява в момента, в който завършва активното състояние на прехода. Оттук <math>\theta_{1}(t) = t'</math> където <math>t, t' \in [T, T+t^*]; t \le t'</math>
* <math>\theta_{2}</math> е функция, която задава ''продължителността на активното състояние на даден преход''. Стойността й се изчислява в момента, в който се активира прехода. Оттук <math>\theta_{2}(t) = t'</math> където <math>t, t' \in [T, T+t^*]; t' \ge 0</math>.

; ''2. Динамична структура (Dynamic structure)''
* <math>K</math> е ''множество от ядрата'' в обобщената мрежа.
* <math>\pi_K</math> е функция, която задава ''приоритетите на ядрата'', т.е. <math>\pi_{K} : K \rightarrow N</math>
* <math>\theta_K</math> е функция, която задава ''момента от време, в който определено ядро може да влезе'' в ОМ, т.е. <math>\theta_K (\alpha)=t</math> където <math>\alpha \in K, t \in [T; T+t^*]</math>

; ''3. Времева компонента (Time)''
* <math>T</math> е начален момент от време, в който ОМ започва функционирането си. Моментът Т се определя по фиксирана времева скала.
* <math>t^0</math> е времева стъпка на фиксирана времева скала.
* <math>t^*</math> продължителност на функционирането на ОМ.

; ''4. Компонента памет (Memory)''
* <math>X</math> е ''множество на началните характеристики'', с които ядрата влизат в мрежата.
* <math>\Phi</math> е ''характеристична функция''. Тя определя новата характеристика на ядрото при преместването му от входната позиция на даден преход в изходната.
* <math>b</math> е функция, задаваща ''максималния брой характеристики'', които едно ядро може да получи по време на движението си в ОМ, т.e. <math>b : K \rightarrow N</math>.

== References ==
* [[On Generalized Nets Theory]], [[Krassimir Atanassov]], Prof. Marin Drinov Academic Publishing House, Sofia, 2007

[[Category:Generalized nets]]

Project:DMEU/Обобщени мрежи

2011-08-20T04:13:08Z

Evdokia Sotirova: /* Формално описание на преход */

{{Ifigenia:DMEU/menu}}
'''Обобщени мрежи, ОМ (Generalized nets, GNs''') са средство за конструиране на адаптивни, гъвкави и структурирани модели на комплексни системи, в които протичат паралелни във времето процеси и са изградени от множество взаимодействащи си компоненти. Обобщените мрежи представляват значително разширение и обобщение на понятието [[мрежи на Петри]], както и на други [[разширения и модификации на мрежи на Петри]].

[[Image:GN-transition-mxn.png|right|thumb|25oxp|Преход от ОМ с ''m'' входни позиции и ''n'' изходни позиции]]

Обобщената мрежа е изградена от '''преходи (transitions)'''. Преходът в контекста на обобщените мрежи е обект от статичната структура на мрежата, който съдържа условията за преминаването на '''ядра (token)''' от входните в изходните му '''позиции (places)''', след като преходът се е активирал.

От позиция или в позиция на прехода може да излиза или съответно да влиза не повече от една дъга. Позиция, от която излиза дъга се нарича входна за прехода, а позиция, в която влиза дъга се нарича изходна за прехода. Всеки преход в ОМ има поне една входна и поне една изходна позиция.
Входна позиция, в която не влиза дъга се нарича вход на мрежата, а изходна позиция, от която не излиза дъга – изход на мрежата. В позициите може да има ядра. Те се преместват от входните към съответните изходни позиции на преходите. Когато настъпи определения за прехода момент от време, и във входните позиции има достатъчен брой ядра, то ядрата от входните позиции придобиват възможност да се придвижат до изходните позиции. Този процес се нарича активиране на прехода. В началото ядрата, които постъпват в мрежата през входните й позиции имат т.нар. начални характеристики. При всяко преминаване през преход в мрежата те получават нови характеристики и така всяко ядро в мрежата е уникално и има своя история. Всяка позиция има свой капацитет.

== Формално описание на преход ==

Преходът Z в ОМ се представя като наредена последователност от седем компоненти:

<div align="center"><math>Z = \langle L', L'', t_1, t_2, r, M, \Box \rangle</math></div>

където:
* <math>L'</math> са крайно непразно множество от входните позиции на прехода.
* <math>L''</math> са крайно непразно множество от изходните позиции на прехода.
* <math>t_1</math> е момент време на активиране на прехода.
* <math>t_2</math> задава продължителността на активното състояние на прехода.
* <math>r</math> е условие на прехода. Представлява индексирана матрица от вида:
*: <math> r =
\begin{array}{c|c c c c c} & l''_1 & ... & l''_j & ... & l''_n \\
\hline
l'_1 & & & & & \\
... & & & & & \\
l'_i & & & r_{i,j} & & \\
... & & & & & \\
l'_m & & & & & \\
\end{array}
</math>
*: където <math>r_{i,j}</math> са предикати, <math>1 \le i \le m, 1 \le j \le n</math>
* <math>M</math> задава капацитетите на дъгите. Представлява индексирана матрица от вида:
*: <math> M =
\begin{array}{c|c c c c c} & l''_1 & ... & l''_j & ... & l''_n \\
\hline
l'_1 & & & & & \\
... & & & & & \\
l'_i & & & M_{i,j} & & \\
... & & & & & \\
l'_m & & & & & \\
\end{array}
</math>
*: където <math>M_{i,j} \ge 0</math> са естествени числа и <math>\infty</math>, <math>1 \le i \le m, 1 \le j \le n</math>
* <math>\Box</math> се нарича тип на прехода и представлява булев израз. Ако стойността му е “true” съответният преход може да се активира, а ако е “false” - не. В него участват идентификаторите на всички входни позиции на прехода, свързани с логическите операции "и" <math>\land</math> и "или" <math>\lor</math>:
*: <math>\land(l_{i_1}, l_{i_2},...,l_{i_u})</math> - във всяка входна позиция <math>l_{i_1}, l_{i_2},...,l_{i_u}</math> трябва да има най-малко по едно ядро,
*: <math>\lor(l_{i_1}, l_{i_2},...,l_{i_u})</math> - най-малко в една от входните позиции <math>l_{i_1}, l_{i_2},...,l_{i_u}</math> трябва да има най-малко едно ядро.

== Формално описание на Обобщена мрежа ==

Обобщена мрежа е наредената четворка:
<center><math>
< \underbrace{ <A, \pi_{A}, \pi_{L}, c, f, \theta_{1}, \theta_{2} >}_{1.\ Static \ structure},
\underbrace{ <K, \pi_{K}, \theta_{K} >}_{2. \ Dynamic \ structure},
\underbrace{ <T, t^{0}, t^{*} >}_{3. \ Time},
\underbrace{ <X, \Phi, b >}_{4. \ Memory} >
</math></center>
където:

; ''1. Статична структура (Static structure)''
* <math>A</math> е множеството от всички преходи в мрежата''.
* <math>\pi_{A}</math> е функция, задаваща ''приоритетите на преходите'', т.е. <math>\pi_{A} : A \rightarrow N</math> където N = {0, 1, 2, ...} ∪ {∞}.
* <math>\pi_{L}</math> е функция, задаваща ''приоритетите на позициите'', т.е. <math>\pi_{L} : L \rightarrow N</math>.
* <math>c</math> е функция, задаваща ''капацитетите на позициите'', т.е. <math>c : L \rightarrow N</math>.
* <math>f</math> е функция, определяща ''вярностната стойност на предикатите''.
* <math>\theta_{1}</math> задава ''следващия момент'', в който може да се активира прехода. Стойността на тази функция се преизчислява в момента, в който завършва активното състояние на прехода. Оттук <math>\theta_{1}(t) = t'</math> където <math>t, t' \in [T, T+t^*]; t \le t'</math>
* <math>\theta_{2}</math> е функция, която задава ''продължителността на активното състояние на даден преход''. Стойността й се изчислява в момента, в който се активира прехода. Оттук <math>\theta_{2}(t) = t'</math> където <math>t, t' \in [T, T+t^*]; t' \ge 0</math>.

; ''2. Динамична структура (Dynamic structure)''
* <math>K</math> е ''множество от ядрата'' в обобщената мрежа.
* <math>\pi_K</math> е функция, която задава ''приоритетите на ядрата'', т.е. <math>\pi_{K} : K \rightarrow N</math>
* <math>\theta_K</math> е функция, която задава ''момента от време, в който определено ядро може да влезе'' в ОМ, т.е. <math>\theta_K (\alpha)=t</math> където <math>\alpha \in K, t \in [T; T+t^*]</math>

; ''3. Времева компонента (Time)''
* <math>T</math> е начален момент от време, в който ОМ започва функционирането си. Моментът Т се определя по фиксирана времева скала.
* <math>t^0</math> е времева стъпка на фиксирана времева скала.
* <math>t^*</math> продължителност на функционирането на ОМ.

; ''4. Компонента памет (Memory)''
* <math>X</math> е ''множество на началните характеристики'', с които ядрата влизат в мрежата.
* <math>\Phi</math> е ''характеристична функция''. Тя определя новата характеристика на ядрото при преместването му от входната позиция на даден преход в изходната.
* <math>b</math> е функция, задаваща ''максималния брой характеристики'', които едно ядро може да получи по време на движението си в ОМ, т.e. <math>b : K \rightarrow N</math>.

== References ==
* [[On Generalized Nets Theory]], [[Krassimir Atanassov]], Prof. Marin Drinov Academic Publishing House, Sofia, 2007

[[Category:Generalized nets]]